SUR UN THÉORÈME DE DAY, UN THÉORÈME DE MAZUR–ORLICZ, ET UNE GÉNÉRALISATION DE QUELQUES

THÉORÈMES DE SILVERMAN

Wojciech Chojnacki

Dédiè à ma sœur Małgorzata

1.

Soient G un semi-groupe, l^{∞}(G) l’espace des fonctions réelles bornées dans G. On appelle moyenne invariante à droite sur l^{∞}(G) une forme linèaire positive m sur l^{∞}(G), vérifiant

m(1) = 1,

ainsi que, pour tout a ∈ G et tout f ∈ l^{∞}(G),

m(R_{a}f) = m(f),

la fonction R_{a}f, appelée translatée à droite de f par a, étant définie en chaque point b ∈ G comme f(ba). Un semi-groupe discret G admettant une moyenne invariante à droite sur l^{∞}(G) est dit moyennable à droite. Les définitions de moyenne invariante (à gauche) et de semi-groupe discret moyennable (à gauche) sont analogues.

Un théorème fondamental de Day est que tout semi-groupe abélien discret est moyennable. Une des méthodes pour établir le théorème de Day consiste à appliquer convenablement des théorèmes du type topologique comme le théorème d’Alaoglu ou le théorème de Markov–Kakutani (cf. [1]). Il est possible aussi de déduire le théorème de Day du théorème de Hahn–Banach (cf. [3]) ou bien d’une généralisation de ce résultat, le théorème de Mazur–Orlicz (cf. [5]). Ci-dessous on prove que le théorème de Mazur–Orlicz peut s’obtenir à partir du théorème de Day. Vu la première méthode pour établir le théorème de Day, le théorème de Mazur–Orlicz et, à plus forte raison, le théorème de Hahn–Banach pourront donc s’interpréter comme des propositions topologiques. En dehors de la version usuelle, une version généralisée du théorème de Mazur–Orlicz sera démontrée dans cet article en tant que résultat topologique. La méthode utilisée dans la démonstration de cette version du théorème de Mazur–Orlicz permettra d’établir aussi un théorème de prolongement invariant d’opérateurs linéaires. Ce dernier resultat, généralisant quelques théorèmes de Silverman [6], fournira une réponse complète à une question formulée dans [1].

2.

Theorem 1 (Mazur–Orlicz). Soient E un espace vectoriel réel, p une application de E dans ℝ, sous-additive et positivement homogène, T un ensemble, u une application de T dans E, a une application de T dans ℝ. Pour qu’il existe une forme linéaire f sur E, vérifiant

(i) f(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ E,

(ii) a(t) ≤ f(u(t)) pour tout t ∈ T, il faut et il suffit que l’inégalité

∑_{i=1}^{n} λ_{i}a(t_{i}) ≤ p(∑_{i=1}^{n} λ_{i}u(t_{i}))

soit remplie pour toute partie finie {t_{1}, …, t_{n}} de T et tout ensemble fini {λ_{1}, …, λ_{n}} de nombres réels positifs.

Démonstration. La nécessité de cette condition étant evidente, nous allons en prover la suffisance.

Soit x ∈ E; posons

P (x) = inf{p(x + ∑_{i=1}^{n} λ_{i}u(t_{i})) − ∑_{i=1}^{n} λ_{i}a(t_{i})},

la borne inférieure étant étendue à tous les ensembles finis de nombres réels positifs ; P (x) est un nombre bien défini, car, quels que soient t_{1}, …, t_{n} ∈ T et λ_{1}, …, λ_{n} > 0, on a

∑_{i=1}^{n} λ_{i}a(t_{i}) ≤ p(∑_{i=1}^{n} λ_{i}u(t_{i})) ≤ p(x + ∑_{i=1}^{n} λ_{i}u(t_{i})) + p(−x)

donc

−p(−x) ≤ p(x + ∑_{i=1}^{n} λ_{i}u(t_{i})) + p(−x).

On vérifie aisément que −p(−x) ≤ P (x+y)−P (y) ≤ p(x) pour tout couple x, y ∈ E, ainsi que a(t) ≤ P (u(t) + y) − P (y) pour tout t ∈ T et tout y ∈ E.

Soit m une moyenne invariant sur l^{∞}(E), E étant considéré comme un groupe abélien discret avec l’addition pour loi de composition. Posons

f(x) = m(R_{x}P − P)

pour tout x ∈ E. La fonction f jouit évidemment des propriétés (i) et (ii). On va montrer qu’elle est linéaire, ce qui terminera la démonstration.

Quels que soient x, y ∈ E, on a

f(y) = m(R_{y}P − P) = m(R_{x}(R_{y}P − P))
= m(R_{x+y}P − P) − m(R_{x}P − P) = f(x + y) − f(x).

En outre, pour tout x ∈ E, on a

f(−x) = m(R_{−x}P − P) = m(R_{x}(R_{−x}P − P)) = −m(R_{x}P − P) = −f(x).

En particulier, il résulte de là que f(wx) = wf(x) pour tout w ∈ ℚ et tout x ∈ E. Pour achever la démonstration, il suffit de montrer que λf(x) = f(λx) pour tout x ∈ E et tout nombre positif λ.

Étant donné x ∈ E, posons

q(x) = p(x) + p(−x),
r_{1}(x) = f(x) + p(−x),
r_{2}(x) = p(x) − f(x).

Il est clair que la fonction q est positivement homogène et qu’on a 0 ≤ r_{i}(x) ≤ q(x) pour x ∈ E et i = 1, 2. En outre, quels que soient x ∈ E, λ > 0 et i = 1, 2, on a

λr_{i}(x) − r_{i}(λx) = inf{wr_{i}(x) − r_{i}(λx) : w > λ, w ∈ ℚ}
= inf{r_{i}((w − λ)x) : w > λ, w ∈ ℚ}
≤ inf{q((w − λ)x) : w > λ, w ∈ ℚ}
= inf{(w − λ)q(x) : w > λ, w ∈ ℚ} = 0.

En combinant cette inégalité avec les identités λr_{1}(x) − r_{1}(λx) = λf(x) − f(λx) et λr_{2}(x) − r_{2}(λx) = f(λx) − λf(x) on parvient à l’identité désirée.

Cela achève la démonstration.

3.

Dans ce qui suit, nous étendons l’argument utilisé ci-dessus à une preuve d’une version généralisée du théorème de Mazur–Orlicz.

Nous rappelons d’abord quelques définitions et notions.

Soient A un ensemble, F un espace vectoriel ordonné.

Si H est une partie de F, on note l_{b}(A, H) l’ensemble des fonctions de A dans H, bornée pour l’ordre de F.

Par abus de langage, on identifie tout élément x de F à la fonction constante de l_{b}(A, H) à valeur x.

On désigne par F^{+} le cône des éléments positifs de F.

On munit l_{b}(A, F) de l’ordre usuel en prennant l_{b}(A, F^{+}) pour cône des éléments positifs.

On dit que F est complet pour l’ordre si toute partie majorée (minorée) de F admet une borne supérieure (inférieure).

Si F est réticulé et complet pour l’ordre, on dit qu’il est complètement réticulé.

Theorem 2. Soient G un semi-groupe discret moyennable à droite, F un espace vectoriel ordonné, complet pour l’ordre. Alors il existe un opérateur linéaire positif M de l_{b}(G, F) dans F, vérifiant, pour tout x ∈ F,

M(x) = x,

ainsi que, pour tout a ∈ G and tout f ∈ l_{b}(G, F),

M(R_{a}f) = M(f).

Dans la suite, chaque opérateur linéaire de l_{b}(G, F) dans F jouissant des propriétés de l’énoncé du théorème 2 sera appelé moyenne invariante à droite sur l_{b}(G, F).

Démonstration. Soient F un espace vectoriel ordonné, complet pour l’ordre, F_{0} le sous-espace vectoriel de F engendré par F^{+}.

On vérifie d’abord que F_{0} est complètement réticulé.

Si H est une partie de F_{0} majorée par x ∈ F_{0}, on a x − sup_{F} H ∈ F^{+}. Donc sup_{F} H ∈ F_{0}, de sorte que sup_{F} H = sup_{F_{0}} H. De façon analogue, si I est une partie de F_{0} minorée par un élément de F_{0}, on a inf_{F} I = inf_{F_{0}} I. Ainsi, F_{0} est complet pour l’ordre.

De plus, quels que soient x, y ∈ F_{0} s’écrivant x = x_{1} − x_{2}, y = y_{1} − y_{2} avec x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} dans F^{+}, on a

−y_{1} − y_{2} ≤ x ≤ x_{1} + x_{2}, −y_{1} − y_{2} ≤ y ≤ x_{1} + x_{2}.

Puisque F_{0} est complet pour l’ordre, il s’ensuit que {x, y} admet une borne supérieure et une borne infériuere dans F_{0}. F_{0} est alors réticulé.

Cela étant, soient G un semi-groupe discret moyennable à adroite, M une moyenne invariante à droite sur l_{b}(G, F_{0}). Etant donné f ∈ l_{b}(G, F), si x ∈ F est tel que f − x ∈ l_{b}(G, F_{0}), on pose

M(f) = x + M(f − x).

Ce que la valeur de M(f) ne dépend que de f tient à ce que si f − y ∈ l_{b}(G, F_{0}) pour un y ∈ F autre que x, on a x − y = f − y − (f − x) ∈ F_{0}, donc x − y = M(f −y)−M(f −x), et finalement x+M(f −x) = y+M(f −y). On vérifie aussitôt que l’opérateur linéaire l_{b}(G, F) ∋ f ↦ M(f) ∈ F est une moyenne invariante à droite sur l_{b}(G, F).

Sans perdre la généralité, on peut alors supposer que F est complétement réticulé. En vertu du théorème de Maeda–Ogasawara (cf. [4], th. 15.5), F peut s’identifier à un idéal d’ordre d’un espace vectoriel complètement réticulé du type C^{∞}(S) (= l’espace des fonctions continues f: S → ℝ∪{−∞, ∞} telles que Intf^{−1}({−∞} = Intf^{−1}({∞}) = ∅), S étant un espace compact extrêmement discontinue. D’après un résultat de Gleason [2], il existe un espace discret D tel que βD (= le compactifié de Stone–Čech de D) contienne S et que S soit un rétracte de βD. Soit m une moyenne invariante à droite sur l^{∞}(G). Puisque chaque fonction réelle bornée dans D se prolonge de façon unique en une fonction réelle continue dans βD, quel que soit f ∈ l_{b}(G, C(βD)) (C(X) = l’espace des fonctions réelles continues dans un espace topologique X), il existe une et une seule fonction M_{0}(f) ∈ C(βD) telle que, pour tout d ∈ D, on ait

M_{0}(f)(d) = m(δ_{d} ∘ f),

δ_{d} étant la forme d’évaluation au point d, associant à toute fonction de C(βD) sa valeur en d. Il est clair que l’opérateur linéaire l_{b}(G, C(βD)) ∋ f ↦ M_{0}(f) ∈ C(βD) est une moyenne invariante à droite sur l_{b}(G, C(βD)).

Soient r une rétraction de βD sur S, I l’injection de de l_{b}(G, C(S)) dans l_{b}(G, C(βD)), ayant pour expression

If(a) = f(a) ∘ r

quels que soient a ∈ G et f ∈ l_{b}(G, C(S)), R l’opérateur de restriction à S des fonctions de C(βD). Or, le composé M = RM_{0}I est évidemment une moyenne invariante à droite sur l_{b}(G, C(S)).

Cela étant, on pose, pour tout f ∈ l_{b}(G, C^{∞}(S)^{+}),

M(f) = sup{M(inf{n, f}): n ∈ ℕ},

la borne supérieure étant prise dans C^{∞}(S)^{+}. L’application

l_{b}(G, C^{∞}(S)^{+}) ∈ f ↦ M(f) ∈ l_{b}(G, C^{∞}(S)^{+})

est positivement homogène et additive, la dernière propriété résultant aussitôt des inégalités

inf{n, f + g} ≤ inf{n, f} + inf inf{n, g} ≤ inf{2n, f + g}

valables pour tout couple f, g ∈ l_{b}(G, C^{∞}(S)^{+}) et tout n ∈ ℕ. Puisque l_{b}(G, C^{∞}(S)^{+}) engendre linéairement l_{b}(G, C^{∞}(S)), M se prolonge de façon unique en un opérateur linéaire de l_{b}(G, C^{∞}(S)) dans C^{∞}(S), noté de même M. Il est évident que M ainsi obtenu est une moyenne invariante à droite sur l_{b}(G, C^{∞}(S)).

Passant au cas général, observons qu’étant donné f ∈ l_{b}(G, F), en particulier un élément de l_{b}(G, C^{∞}(S)), si x ∈ F^{+} est tel que |f| ≤ x, on a |M(f)| ≤ x, d’où M(f) ∈ F, vu que f est un idéal d’ordre de C^{∞}(S). Par conséquent, M restreint à l_{b}(G, F) est une moyenne invariante à droite sur l_{b}(G, F).

La démonstration est ainsi achevée.

Maintenant, grâce au théorème établi, il est facile de modifier le raisonnement de la section précédente de façon à obtenir une preuve du

Theorem 3 (Mazur–Orlicz). Soient E un espace vectoriel réel, F un espace vectoriel ordonné complet pour l’ordre, p une application de E dans F, sous-additive et positivement homogène, T un ensemble, u une application de T dans E, a une application de T dans F. Pour qu’il existe un opérateur linéaire S de E dans F, vérifiant

(i) S(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ E,

(ii) a(t) ≤ S(u(t)) pour tout t ∈ T, il faut et il suffit que l’inégalité

∑_{i=1}^{n} λ_{i}a(t_{i}) ≤ p(∑_{i=1}^{n} λ_{i}u(t_{i}))

soit remplie pour toute partie finie {t_{1}, …, t_{n}} de T et tout ensemble fini {λ_{1}, …, λ_{n}} de nombres réels positifs.

4.

Theorem 4. Soient E un espace vectoriel réel, G un semi-groupe discret moyennable à droite, G × E ∋ (a, x) ↦ ax ∈ E une représentation linéaire gauche de G dans E, F un espace vectoriel ordonné complet pour l’ordre, p une application de E dans F, sous-additive et positivement homogène, telle que, pour tout a ∈ G et tout x ∈ E, on ait p(ax) ≤ p(x). Soient E_{0} un sous-espace vectoriel de E stable pour l’action de G, S_{0} un opérateur linéaire de E_{0} dans F, vérifiant S_{0}(ax) = S_{0}(x) pour tout a ∈ G et tout x ∈ E_{0}, ainsi que S_{0}(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ E_{0}. Alors S_{0} se prolonge en un opérateur linéaire S de E dans F vérifiant S(ax) = S(x) pour tout a ∈ G et tout x ∈ E, ainsi que S(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ E.

Démonstration. Soit T un opérateur linéaire de E dans F, prologeant S_{0} et vérifiant T (x) ≤ p(x) pour tout x ∈ E; l’existence d’un tel opérateur ressort de la version généralisée du théorème de Hahn–Banach qui s’obtient de façon évidente du théorème 3. Etant donné x ∈ E, définissons une fonction f_{x} ∈ l_{b}(G, F) en posant f_{x}(a) = T (ax) pour tout a ∈ G. Soit M une moyenne invariante à droite sur l_{b}(G, F). Posons

S(x) = M(f_{x})

pour tout x ∈ E. It est clair que E ∋ x ↦ S(x) ∈ F est un opérateur linéaire dont la restriction à E_{0} est S_{0} et qui vérifie S(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ E. Compte tenu de l’identité f_{ax} = R_{a}f_{x} valable pour tout a ∈ G et tout x ∈ E, on conclut que l’on a S(ax) = S(x) pour tout a ∈ G et tout x ∈ E.

Cela achève la démonstration.

Bibliografie

1. M. M. Day, Semigroups and amenability, Semigroups, Proceedings of a Symposium on Semigroups Held at Wayne State University, Detroit, Michigan, June 27–29, 1968 (K. W. Folley, ed.), Academic Press, New York and London, 1969, pp. 5–53.

2. A. M. Gleason, Projective topological spaces, Illinois J. Math. 2 (1958), 482–489.

3. F. P. Greenleaf, Invariant Means on Topological Groups and Their Applications, Van Nostrand, New York, 1969.

4. E. De Jonge and A. C. M. Van Rooij, Introduction to Riesz Spaces, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1977.

5. S. Mazur and W. Orlicz, Sur les espaces métriques linéaires II, Studia Math. 13 (1953), 137– 179.

6. R. J. Silverman, Means on semigroups and the Hahn–Banach extension property, Trans. Amer. Math. Soc. 83 (1956), 222–237.

Institut de Mathématiques Université de Varsovie Warszawa, Pologne